terça-feira, 17 de abril de 2012

Equações Diofantinas Lineares

 

Esse é um texto antigo…segundo semestre de 2002, que eu escrevi.

Equações Diofantinas lineares

Diofanto de Alexandria viveu provavelmente no século 111 d.C. Dele se conhecem duas obras: Sobre números poligonais e Aritmética. Esta última, da qual restam seis livros (segundo o prefácio o número total de livros seria treze), é a obra mais importante e original. Trata-se de uma coletânea de problemas, na maioria indeterminados, para cuja solução Diofanto usa sempre métodos algébricos, com o que se distingue substancialmente da matemática grega clássica.

Devido a essa utilização de métodos algébricos, hoje recebem o nome de equações diofantinas todas as equações polinomiais (com qualquer número de incógnitas), com coeficientes inteiros, sempre que se trata de procurar suas soluções também entre os inteiros.

Neste trabalho, estudaremos as equações diofantinas lineares com duas e três incógnitas. Forma geral de uma equação diofantina:

ax + by = c

a,b e Z

x,y e Z

Relembrando algumas propriedades:

Além disso, para que uma equação diofantina linear tenha solução, é necessário que o mdc(a,b)=d deve dividir c, caso contrário a equação não possui solução.

Se d/c (d divide c), então a equação admite infinitas soluções inteiras.

PROBLEMAS INTERESSANTES

Antes de começar a usar os problemas e o solver, no laboratório de informática, seria interessante mostrar uma coleção de equações diofantinas lineares aos alunos, com duas, três quatro incógnitas, e pedir que calculem seu mdc, para verificar quais delas possuem solução.

Depois, mostrar problemas interessantes da vida real, e pedir que analisem e discutam entre si, de maneira a obter uma equação para resolver o problema.Veja queremos que eles apenas encontrem uma equação para o problema. Os problemas poderiam ser estes:

1. Um fazendeiro dispõe de R$ 1770,00 e pretende gastar essa importância na compra de cavalos e bois. Se cada cavalo custa R$ 31,00 e cada boi R$ 21,00, qual o maior número de animais pode adquirir? Quantos cavalos? Quantos bois?

2. Um parque de diversões cobra R$ 1,00 a entrada de crianças e R$ 3,00 a de adultos.Par a que a arrecadação de um dia seja R$ 200,00, qual o menor número de pessoas, entre adultos e crianças, que poderiam frequentar o parque nesse dia? Quantas crianças? Quantos adultos?

3. Dividir 100 em duas parcelas positivas tais que uma é múltiplo de 7 e a outra de 11. (Euler).

4. Resolver a equação 7x+19y=1921. Depois, determine x ey tal que sejam maiores que zero e que x+y seja o menor valor possível.

5. Um certo número de "seis" e de "noves" são adicionados e a soma resultante é 126. Se o número de "seis" e o de "noves" fossem permutados, a soma seria 114. Quantos "seis " e quantos "noves "foram somados?

Mesmo que os alunos já saibam resolver equações diofantinas lineares, eles podem ter alguma dificuldade para resolver estes exercícios algebricamente. No entanto, nesta aula, que é inteiramente de prática no computador, eles devem apenas saber equacionar as situações que ainda não estão devidamente modeladas. Em outras palavras, eles devem entender perfeitamente os problemas propostos a ponto de saber equacioná-los.

UM POUCO SOBRE O SOLVER

O Solver é um recurso existente no Microsoft Excel, usado para resolver problemas matemáticos de múltiplas variáveis. O processo que ele utiliza para a solução dos problemas é por tentativa e erro, isto é, por várias iterações por segundo até resolver o problema com todas as restrições satisfeitas.

O Solver calcula problemas de valores mínimos, máximos, um valor específico e também possui um recurso muito poderoso que permite estabelecer uma série de restrições e não apenas uma ou duas, como por exemplo, outros aplicativos que se dizem similar ao solver.

Para ter acesso ao Solver entre no Excel e clique em Ferramentas ■■►Solver. Caso o Solver não esteja instalado vá a Ferramentas-^Suplementos Cativar a caixa Solver e ->Ok. Agora você pode entrar pelo primeiro comando dado. A tela inicial deste aplicativo é:

image


Note que olhando a janela do Solver, percebemos quase intuitivamente o que devemos estabelecer. Definimos a célula de destino como a célula em Excel que receberá a resposta. Esta célula poderá receber como resposta valores máximos, mínimos ou um valor específico. As células que serão testadas, redefinidas e que terão restrições se localizam na região células variáveis. E suas restrições são inseridas pela janela Submeter às restrições.

Depois que todos os dados são inseridos no Solver, só aí é que clicamos em Solver para que o Excel/2000 faça as iterações e localiza a resposta desejada por nós. É claro que o Solver possui um tempo para efetuar as iterações, acabado este tempo, o Excel informa que a solução com base em nossas restrições não foi encontrada.

Os alunos devem ficar atentos pois, se a equação diofantina não tiver solução o Excel enviará a mensagem descrita acima. Lembre-se da condição fundamental para que uma equação diofantina tenha infinitas soluções.

É igualmente importe os alunos saberem como alterar outras opções do Solver, como por exemplo, o tempo de iteração que o excel levará para concluir que não encontrou solução, bem como outros recursos que podem ser alterados para termos mais precisão, por exemplo. De qualquer modo, para alterar qualquer opção clique em opções na janela do solver, e aparecerá esta:

image

Podermos estabelecer já de antemão, que nossos problemas terão como solução apenas números inteiros não negativos, então é interessante ativar as opções presumir não negativos e presumir modelo linear, pois trabalhares apenas com equações que formam retas. Vide figura acima.

Não entraremos em maiores detalhes quanto à outros recursos e opções do Solver, por se tratar de problemas pouco complexos que não exigem maiores recursos deste aplicativo.

A partir deste momento podemos começar a resolver os problemas propostos no início deste trabalho. Para isso, precisamos em primeiro lugar, construir a planilha com os dados do primeiro problema e só depois então, usar o solver para obter as nossas tão procuradas soluções.

RESOLVENDO OS PROBLEMAS

Um fazendeiro dispõe de R$ 1770,00 e pretende gastar essa importância na compra de cavalos e bois. Se cada cavalo custa R$ 31,00 e cada boi R$ 21,00, qual o maior número de animais pode adquirir? Quantos cavalos? Quantos bois?

SOLUÇÃO:

Sendo x a quantidade de cavalos e sendo y a quantidade de bois, temos que x cavalos custarão 31x e y bois custarão 21y. Então o número de cavalos e bois deve satisfazer a equação: (*)31x+21y=1770. Note ainda que, neste problema temos que x+y deve ser máximo. Temos também que x>=l e y>=l (pois queremos comprar ambos animais); além disso, x, y devem pertencer aos Inteiros, isto é, x=num e y=num. Num significa número inteiro. Outro detalhe importante é que as células que poderão ser variáveis, isto é, as células que poderão ser testadas são: C7 e D7. Montamos a planilha como segue:

 

A

B

C

D

E

F

6

VALOR CAVALOS

VALOR BOIS

NR. CAVALOS

NR. BOIS

7X+19Y=1921

BOIS + CAVALOS

7

31

21

3

100

2193

103

Digite em A7, B7, C7, D7, E7, F7 os rótulos das tabelas.

Em A7, B7 o valor de cada cavalo e boi, respectivamente.

Em C7, D7 o número de cavalos e de bois para teste.

Em E7 a fórmula =A7*C7+B7*D7 similarmente à (*).

Em F7 a fórmula =C7+D7, para sabermos qual a quantidade de bois+cavalos.

A medida que alteramos as células A7, B7, C7, D7 os valores de E7 e F7 se modificam. O que o solver fará, é testar quais valores se encaixam em nossa fórmula e em nossas restrições. Na janela do Solver colocaremos estas informações:

image

Um parque de diversões cobra R$ 1,00 a entrada de crianças e R$ 3,00 a de adultos.Para que a arrecadação de um dia seja R$ 200,00, qual o menor número de pessoas, entre adultos e crianças, que poderiam frequentar o parque nesse dia? Quantas crianças? Quantos adultos?

SOLUÇÃO:

Sendo x a quantidade de crianças e sendo y a quantidade de adultos, temos que x crianças custarão lx e y adultos custarão 3y. Então o número de crianças e adultos deve satisfazer a equação: (*) lx+3y=200. Note ainda que, neste problema temos que x+y deve ser mínimo. Temos também que x>=l e y>=l (pois queremos crianças e adultos no parque); além disso, x, y devem pertencer aos Inteiros, isto é, x=num e y=num.

Digite em A7, B7, C7, D7, E7, F7 os rótulos das tabelas. Em A7, B7 o valor de cada ingresso.

Em C7, D7 o número de crianças e de adultos para teste inicial. Em E7 a fórmula =A7*C7+B7*D7 similarmente à (*).

Em F7 a fórmula =C7+D7, para sabermos qual a quantidade de crianças+adultos.

A medida que alteramos as células A7, B7, C7, D7 os valores de E7 e F7 se modificam. O que o solver fará, é testar quais valores se encaixam em nossa fórmula e em nossas restrições. Na janela do Solver colocaremos estas informações:

image

seja o menor valor possível.

A solução fica à encargo dos alunos da dinâmica pois, este é mais um exercício similar aos anteriores de fácil resolução com o Solver. Os outros exercícios também são muito fáceis, basta que os alunos interpretem o problema e mediante símbolos algébricos encontrem a equação que resolve o problema e suas restrições.

Um certo número de "seis" e de "noves" são adicionados e a soma resultante é 126. Se o número de "seis" e o de "noves" fossem permutados, a soma seria 114. Quantos "seis" e quantos "noves"foram somados?

SOLUÇÃO:

Chamamos de x a quantidade de noves do problema e de y a quantidade de seis do problema, neste caso, de acordo com a tabela abaixo temos: 9x+6y=126. Por outro lado, quando invertemos o número de noves com o número de seis na equação resulta que: 9y+6x=114. Portanto, agora com todos os dados na mão fica fácil criar um modelo para o Solver encontrar a resposta.

 

A

B

C

D

1

Nr. Noves

Nr. Seis

Soma de Seis+Noves

Soma de Seis+Noves invertido

2

3

4

51

54

image

Digite em Al, BI, Cl, Dl, El, Fl os rótulos das tabelas.

Em A2, B2 a quantidade de noves e de seis que você julgar conveniente.

Em C2, D2 digite a fórmula para o cálculo da soma dos dígitos seis e noves do problema, elas

são respectivamente: =9*A2+6*B2 e =A2*6+B2*9

Depois defina as restrições e equações de nosso problema, como a figura acima e clique em Resolver. O Excel apresenta à você, na planilha as soluções.

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RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Número de (Cavalos= 9; Bois=71; Animais=80)

2. Número de (Crianças= 2; Adultos=66; Pessoas=68)

3. Número de (x= 3; y=100; x+y=103)

4. Número de (Noves= 6; Seis=10)

5. 56 e 44

Observe que a resposta não deve ser o objetivo a alcançar neste projeto, e sim a discussão das respostas obtidas com o uso do solver. Pois, é sabido, que uma equação diofantina possui infinitas soluções inteiras.

image

image

Segue o link para quem quiser imprimir o texto:

http://www.4shared.com/rar/o6AAkIFo/splver.html

Bom proveito!!!

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