sábado, 12 de novembro de 2011

Finalidade...

 

Divisão

A divisão é sem dúvida a operação mais complexa em relação às outras operações matemáticas estudadas no ensino básico. Já começa pela definição da divisão, que como todos sabemos possui um lugar todo especial na teoria dos números. Podemos definir divisão como: dados dois números inteiros positivos a e b, existe um único par de números inteiros q e r, chamados quociente e resto, tais que a = bq + r e 0≤rb. O algoritmo da divisão nos fornece o quociente q e o resto r.

Também é importante dizer que o algoritmo usado em nosso país difere um pouco dos algoritmos usados por países como EUA e Inglaterra. Esses países deixam a cargo da criança a simplificação dos cálculos parciais de uma divisão, e nós no Brasil já mostramos o algoritmo ótimo para fazer esse cálculo. Por outro lado, o algoritmo mais usado nas escolas em nosso país é o que exige maior cálculo mental.

Exemplificando com os exemplos propostos pelo Explorando o Ensino da Matemática (MEC, 2004), disponível no site do MEC.

clip_image002

Fig. 41 - Métodos aproximativos diferentes para calcular a divisão de 317 por 8

Veja pelo exemplo da figura 41, que a criança que fez as contas da direita, terminou o exercício mais rápido do que a criança da esquerda, pois usou um valor no quociente (30), um pouco mais próximo do resultado da divisão 317 por 8. Entretanto as duas crianças acertaram a conta, o que era o objetivo da atividade proposta. Qualquer número poderia ser colocado no lugar reservado ao quociente desde que o produto deste número pelo divisor seja menor do que ou igual ao respectivo dividendo. Na prática, o que fazemos é tomar o maior número possível nessas condições, a fim de abreviar o processo. O quociente da divisão é a soma dos quocientes parciais. Mais um exemplo:

clip_image004

Fig. 42 - Outros exemplos para dividir por métodos aproximativos

Cada criança a seu tempo vai encurtando o processo, chegando naturalmente ao algoritmo usual, como mostrado abaixo.

clip_image006

Fig. 43 - Único método de divisão usado nas escolas brasileiras

Mais uma vez é importante frisar que a divisão é mais complexas que as outras operações, sua sistematização usa as demais operações, exige que o aluno saiba somar, subtrair e multiplicar. Portanto, quando for ensinada deve ser sempre bem dosada de forma a não perdermos todo o trabalho feito até aqui, com as técnicas propostas anteriormente.

Dificilmente existirá um macete que sempre funciona para a divisão, apesar de meus esforços, não consegui criar um método para esse fim, que seja fácil e efetivo, mas isso não quer dizer que ele não exista. Uma das coisas que tentei fazer sem sucesso foi de aplicar a multiplicação por gelosia ao contrário, isso é, no lugar de multiplicar ela teoricamente dividiria.

Potenciação

Essa operação é derivada da multiplicação e portanto temos pouco a dizer sobre ela. O que vale para a multiplicação vale para a potenciação. O que pode ser bem interessante é mostrar a propriedade dos números quadrados perfeitos, isto é, clip_image008.Vamos mostrar um exemplo, ao calcular 64². Para isso podemos fazer: 64 x 64 e então aplicar uma das técnicas de multiplicação já estudadas ou usar a propriedade acima citada, isto é: clip_image010.

Por outro lado, valem também a seguinte propriedade clip_image012, que vamos exemplificar também. Ao calcular 28², podemos escrever do seguinte modo: clip_image014.

Ao utilizarmos essas propriedades para ensinar potenciação e introduzir o ensino de raiz quadrada aos nossos alunos, devemos prestar atenção ao fato de que eles devem ser competentes em “quebrar” aditivamente o número em dois como 28 = 30 – 2 ou 64 = 60 + 4. Por isto a importância de se utilizar muito bem as técnicas mostradas nesse trabalho, como por exemplo, ao da calculadora de papel, que faz as contas de adição e subtração usando essas “quebras” numéricas e que não passam do uso consciente do sistema de numeração base 10 usado nos dias de hoje.

Além disso, teremos que treinar muito bem os alunos para “quebrar” os números multiplicativamente, isto é, 60² = 60 x 60 = 6 x 6 x 10 x 10 =3600. Infelizmente para esse tipo de cálculo não temos nenhuma técnica na manga para que os alunos apreciem aprender esse tipo de cálculo. Então é uma oportunidade de você criar uma atividade que permita desenvolver nos alunos mais essa habilidade. Por outro lado, “quebrar” um número em produtórios ou somatórios auxiliará o aluno em todas as outras operações, principalmente no que se refere ao estudo da divisão.

Raiz quadrada

Vamos mostrar agora uma técnica para o cálculo de raízes quadradas que aprendemos no curso de Fundamentos de Matemática I, na primeira fase do curso de matemática na UFSC. Este método de cálculo usa os números ímpares para esse fim e é um resultado bem conhecido pelos alunos que fazem essa disciplina, isto é, a soma dos n primeiros números ímpares é dado por n². Este resultado garante que se você tomar um número quadrado perfeito qualquer pode diminuir por sucessivos números ímpares até chegar a 0.

Também é possível efetuar cálculos aproximados com números não quadrados perfeitos. Neste caso teremos uma aproximação razoável do valor da raiz quadrada desses números, pois esseS serão os números irracionais (números que não podem ser escritos em forma de fração). Observe a figura 44.

clip_image016

Fig. 44 - Somatório dos n primeiros números ímpares: um número quadrado perfeito

Observe que a figura 44 sugere que a soma dos n primeiros números ímpares resulta em um número quadrado perfeito, isto é, n². Sabemos que isso é verdade apenas omitiremos a prova nessa monografia. Para calcularmos a raiz quadrada de 4, tomamos o primeiro números ímpar, isto é, o 1. Então, 4-1=3, em seguida tomamos o próximo número ímpar depois do 1, é o 3, então 3-3=0. Como efetuamos duas operações de subtração, temos que o valor da raiz quadrada de 4 é 2. Vejamos outro exemplo, calcular a raiz quadrada do número 25.

  1. 25 – 1 = 24
  2. 24 – 3 = 21
  3. 21 – 5 = 16
  4. 16 – 7 = 9
  5. 9 – 9 = 0

Como efetuamos 5 subtrações, a raiz quadrada de 25 será 5.

No livro Método Cuca Legal o professor Jonofon Serates (1998) nos ensina mais um passo da técnica, que é o cálculo de raiz quadrada para valores maiores do que os apresentados anteriormente. Por exemplo, usando o método das subtrações sucessivas, calcular a raiz quadrada de 144. Note que pelo que aprendemos teremos que efetuar 12 subtrações sucessivas, mas existe uma maneira de simplificar essas contas que mostrarei aqui. Vejamos então exemplos para calcular raízes quadradas usando-se o processo de subtrações sucessivas por números ímpares.

  1. Dividir o número 144 da direita para esquerda em grupos de 2.
  2. Diminuir o primeiro grupo de números (1) pelo primeiro número ímpar (1).
  3. Como o resto (0) é menor que o próximo número ímpar (3), contamos as operações de subtração que efetuamos até agora (1) e colocamos esse número ao lado do sinal de igual.
  4. Baixar o segundo grupo de números (44).
  5. Diminuir pelo primeiro número ímpar (1) a partir da última subtração (1) mais 1 unidade, isto é, o último número foi o 1, 1+1=2, então o próximo ímpar será o 21.
  6. Como o resto (23), não é menor que o próximo número ímpar, diminuir pelo próximo ímpar, 23.
  7. Como o resto (0) é menor que o próximo número ímpar contamos as operações de subtração efetuadas até agora, e colocamos esse número (2) ao lado do sinal de igual.
  8. Ao final da operação temos o resultado que é 12.
clip_image018

Os passos são aproximadamente iguais aos do exemplo anterior, por isso não entraremos em detalhes do método.

clip_image020

clip_image022

Vamos mostrar mais um exemplo que é um pouco diferente dos demais por exigir um artifício para o cálculo correto da raiz quadrada.

clip_image024

  1. Separar o número 10404 em grupos de 2 em dois, da direita para a esquerda, isto é, 1.04.04
  2. Diminuímos o primeiro grupo 1 pelo primeiro número ímpar. Como o resto é menor que o próximo número ímpar, contamos o número de operações efetuadas até o momento e colocamos seu resultado à direita do sinal de igual.
  3. Baixamos o próximo grupo 04, como ainda é menor que o próximo ímpar 21, colocamos o número 0 a direita do sinal de igual e baixamos o próximo grupo.
  4. Assim para diminuir 404, colocamos o um zero entre o número 21, ficando então como 201.

Nenhum comentário:

Postar um comentário