terça-feira, 25 de outubro de 2011

Introdução

 

Como aluno de graduação de matemática finalizando o curso e também com alguma experiência de sala de aula, decidi fazer a monografia sobre as questões relativas ao ensino de matemática no Ensino Fundamental, em razão da aflição de ver e saber que, mesmo no século 21, crianças (inclusive a que eu fui) devem, no mínimo, decorar desesperadamente as regras da tabuada, num procedimento arcaico e de um sistema de ensino cada vez mais caduco. Claro que isso não ocorre em todos os lugares, pois, existem escolas muito boas. Muitas vezes estas também são muito caras!

Sabemos que os professores das séries avançadas, como as finais do Ensino Fundamental e mais ainda, no Ensino Médio, muitas vezes têm dificuldade com seus alunos, exatamente pela falta de base que eles alunos têm nos conteúdos das séries iniciais. Mas, muitos professores desses mesmos alunos, frequentemente, também não possuem suporte para o ensino da matemática.

Com essa monografia, pretende-se contribuir na mudança deste quadro ao se propor um suporte para os professores, pais e alunos, mesmo que este possa ser modesto. Penso que essa proposta de Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) é uma soma de experiências que tive na minha vida na sala de aula como aluno, como professor; como criança, como pai e educador. É incrivelmente positivo pensar que esse projeto é a reunião dessas ideias, todas adquiridas ao longo dos anos.

Além disso, o tema é muito mais relevante para a realidade brasileira e a que estou inserido do que transcrever um livro de matemática superior sobre a função gama, tema inicial da minha monografia, que pouca utilidade, ou quase nenhuma utilidade teria para a educação básica nacional. Enfim, com esse trabalho contribuo mesmo que modestamente para mudar o quadro terrível do ensino de matemática em nosso país.

No trabalho abordarei sugestões de metodologias lúdicas para tornar a matemática mais apreciada pelos estudantes do Ensino Fundamental e também no ensino de Jovens e de Adultos, usando materiais de baixo custo. Essas atividades são usadas para motivar e também para fixar os conhecimentos dos estudantes a cerca dos conceitos matemáticos e também das seis operações básicas (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada), além de usar jogos com dados, como o Role Playing Game (RPG), que é um jogo de interpretação de papéis.

Contudo o ensino-aprendizagem de matemática usando as metodologias que descreveremos a seguir devem ser bem dosadas e acompanhadas de muitas explicações do professor. Seguindo a teoria de Ausubel – Teoria da Aprendizagem Significativa - sempre devemos ensinar com os conhecimentos que o aluno já sabe ou conhece, e a esses conhecimentos Ausubel chama de subsunçores (Yamazaki, 2008). Assim, a Teoria da Aprendizagem Significativa é um processo por meio do qual uma nova informação é acoplada a uma estrutura cognitiva particular já existente, portanto, prévia específica, a que Ausubel chamou de subsunçor.

De maneira geral, quando o aluno não possui algum conhecimento prévio, ou seja, não possui nenhum subunçor é necessário criar atividades que possam desenvolvê-los, essas atividades são chamadas, na teoria de Ausubel, de organizadores prévios. Após usarmos os organizadores prévios, teremos subsunçores recém criados, e devemos ter certeza de esses subsunçores sejam capazes de ancorar os novos conhecimentos que devem ser enfim ensinados.

As atividades que propomos nesse trabalho, ainda que seja em número limitado, podem ser consideras como a criação de um conjunto de subsunçores, isto é, organizadores prévios, dentro da teoria de Ausubel. Porém, cabe ao professor avaliar quando deve usá-lo e quando deve deixar de usar algumas dessas atividades. Quando o aluno tiver um grande número de subsunçores para um tipo de conhecimento específico, então não é mais necessário criá-los, caso contrário, corre-se o risco de criar uma aula desmotivante aos alunos.

Com isso em mente, estaremos mais preparados para enfrentar o grave problema de ensino de matemática em nosso país, que é acentuado pelos exames internacionais de avaliação, conduzidos e aplicados pela comunidade internacional. Nosso país em 2006 teve 69% dos alunos reprovados na prova de matemática (INEP, 2006).

A avaliação acontece em três principais eixos: Matemática, Leitura e Ciências e tem o foco no conceito de letramento, que é definido como à capacidade de ir além da simples aquisição de conhecimentos, demonstrando competências para aplicar esses conhecimentos em situações do dia-a-dia. Ela é feita através de provas escritas para os alunos e para os diretores das escolas. A prova procura classificar os alunos em níveis, e o aceitável para viver em nossa época moderna é no mínimo nível 2 de proficiência. A prova realizada em 2006 colocou o nosso país com 69% dos estudantes abaixo desse nível.

Enfim, este trabalho busca contribuir com o ensino de matemática em nosso país e como consequência disso, melhorar o resultado que obtemos nos exames internacionais de avaliação, como por exemplo, a prova PISA, sobre a qual se fala a seguir. Valorizando as atividades lúdicas bem dosadas na criação de subsunçores adequados, ao que se deseja ensinar pode-se contribuir para uma melhora no ensino-aprendizagam da disciplina de matemática e com isto, com certeza para melhorar muitos outros resultados além dos testes classificatórios. É o que se deseja aqui.

DEFININDO MATEMÁTICA

Hoje, no que se refere à área da educação vivemos momentos de revolução tal qual Nicolau Copérnico viveu ao estabelecer um novo modo de ver o mundo, tendo o Sol como centro de nosso sistema solar e não mais a Terra. Claro que isto não agradou os pensadores mais antiquados de seu tempo! A mesma revolução está prestes a acontecer em nossos dias no que se refere aos recursos para ensinar em geral, e em especial, aqueles disponíveis atualmente para ensinar Matemática. Há necessidade de se ter uma educação totalmente diferenciada da educação tradicional, envolvendo a memorização e decoreba simplesmente, o que é procurado por Piaget e outros educadores e cientistas pelo menos desde o início do século XIX.

Também não é novidade que Einstein, o pai da teoria da relatividade – teoria esta que mudou a maneira de ver o mundo e que hoje ainda é relegada ao segundo plano por muitos educadores do XXI – não gostava da educação escolar e suas tarefas. Para ele os professores tolhiam a capacidade de imaginar que ele tanto prezava, fazendo-o repetir as mesmas tarefas sempre. Calculando infindáveis somas e multiplicações sem nenhum sentido para ele, apenas o sentido mecânico da atividade, seria previsível e compreensível que se desinteressasse.

Hoje em dia temos os computadores, que num primeiro momento podem ser brinquedos para as crianças e que por si só atraem a sua atenção, com seus joguinhos, e programas de pintar ou de escrever. Isto é parecido com o que acontecia no início da computação, quando os primeiros videogames eram vendidos no mercado nacional, isso por volta dos anos 80. Além disso, temos a internet, que é um veículo de comunicação, de informação e de entretenimento mais rápido e imediato que existe nos dias de hoje. Todas estas informações atuais nos fazem perceber a gradativa mudança na disponibilidade de recursos que normalmente deixávamos em segundo plano. Podemos agora, com o uso dessas ferramentas, ter muito mais liberdade para pensar. Com elas podemos fazer as coisas de forma muito “limpa” (sem tanto papel para rascunho), como por exemplo, no estudo da geometria, em que não precisamos mais borrar o papel com nossas linhas mal traçadas. Ao invés disso, usamos os softwares criados para isso. Podemos agora dinamizar (sem o uso de nossas mentes) os processos que o computador faz em uma tela plana e multicolorida, criando assim uma nova realidade.

Em todos esses exemplos citados, podemos perceber o quanto é difícil entrar em uma sala de aula para ensinar matemática. Na maneira tradicional de ensinar temos somente papel e lápis; o giz e o quadro negro, de tal forma que ir ao colégio, se forem usados apenas estes, passa a ser um retrocesso muito grande hoje em dia. Comparando com a revolução tecnológica do mundo, e que, ao que parece, algumas escolas, principalmente as públicas, seja por falta de recursos ou por falta de professores qualificados, ou quem sabe outro motivo qualquer, estão se tornando, (ou estão de fato) obsoletas. E os alunos, em função disso, não tem mais motivação em estudar.

Ao lado disto, há também o que diz Micotti, quando afirma que: “A renovação do ensino não consiste, apenas, em mudança de atitude do professor diante do saber científico, mas, ainda e especialmente, diante do conhecimento do aluno: é preciso compreender como ele compreende, constrói e organiza o conhecimento.” (MICOTTI, 1999, p. 12).

Seymour Papert, em seu livro A Máquina das Crianças (1994), conta logo no início do livro uma história que reflete exatamente o que estamos vivenciando nesses últimos anos. A história que ele conta diz que, se pegarmos um grupo de médicos cirurgiões do século XIII e trazê-los de alguma forma para o nosso século, em uma sala cirúrgica atual e moderna, eles não terão a mínima ideia da utilidade daqueles objetos que apitam e das luzinhas e gráficos que não se cansam de monitorar o paciente sendo operado. Papert (1994) diz que esses cirurgiões terão pelo menos alguma ideia do órgão que esteja sendo operado naquele momento. Por outro lado, se tomarmos o mesmo pensamento para um grupo de professores do século XIII, e trazê-los de alguma forma para uma sala atual de nossa época, eles não sentiriam diferença alguma no trabalho a ser realizado com os alunos atuais. Talvez, à excessão de estes serem mais mal educados e indisciplinados, tudo estaria do mesmo jeito que no século XIII.

Todas essas idéias fazem parte de um mesmo problema: como agir para se ensinar matemática. Ensinar matemática de tal maneira que os alunos criem a habilidade e o traquejo necessário para calcular sem o uso de ferramentas externas, e mesmo assim se sintam motivados para realizar os mesmos cálculos. Ou até mesmo os cálculos mais complexos utilizando as ferramentas existentes hoje em dia, como calculadoras e computadores modernos. Porém, para que os alunos atinjam esses objetivos torna-se necessário abstraírem a ideia de número, para que consigam logo depois aprender a calcular e a fazer aplicações entre o mundo real e o mundo das operações matemáticas. Não é muito fácil atingir esses objetivos, simplesmente calculando com as infindáveis listas de exercícios – dadas por seu professor - que Einstein, já citado acima, tinha que se submeter sem nenhuma motivação. Imagine uma criança “normal” tem que se submeter em seu treinamento matemático, considerando o fato de que até Einstein não gostava de ir para as aulas de matemática.

Uma forma das crianças se motivarem a entender matemática, está no livro A Experiência matemática (1986), de Philip J. Davis e Reuben Hersh, professores de matemática da Brown University, e da Universidade do Novo México, respectivamente, e que tratam em certo capítulo do livro, sobre a “venda” para os jovens da matemática como um jogo e que ela é divertida. Mas uma coisa é dizer isso aos alunos, e outra é realizar atividades e tarefas que mostrem a eles essa ideia. Porque se a matemática é divertida, os alunos podem pensar algo como: por que eu não estou me divertindo nesta disciplina? Infelizmente, os autores da referida obra não dizem como fazer a matemática ficar divertida.

Então o problema passa a ser outro. Precisamos ensinar matemática de forma lúdica e motivadora de tal maneira que os alunos se divirtam com esse estudo, e isso pode ser colocado como um desafio para suas mentes curiosas e questionadoras, principalmente para os alunos do ensino fundamental até a 6ª série e para os alunos das séries iniciais de nosso país. Sem fugirmos dos conceitos matemáticos que são os objetivos de nossa disciplina.

A partir da 7ª série, os conceitos se tornam muito mais abstratos e os alunos para terem domínio sobre o que será apresentado posteriormente, devem dominar a matemática básica, que vai até a 6º série. O que percebemos é que isso não acontece. Os alunos entram na 7º série, sem abstrair bem os conceitos de número e suas operações básicas e com isso adicionado à quantidade de novas informações nas séries seguintes, torna o estudo e o gosto pela matemática muito mais difícil e quase impossível.

Carl B. Boyer no livro A História da Matemática (1974), diz que falar das sofisticadas atividades intelectuais de um matemático do século XX é muito difícil. Isso porque as ideias que são objeto de estudo de um matemático são ignoradas pelas pessoas comuns. Entretanto, essas atividades são derivadas das ideias básicas de número e de forma, assuntos estabelecidos desde outrora como fundamentais na antiquada definição de matemática. No mesmo texto Boyer (1974), ainda diz que a matemática até o século XIX era vista como o estudo do mundo tal qual nossos sentidos percebiam, mas a partir dessa época a matemática se libertou do caráter concreto dos sentidos humanos e passou a ser extremamente abstrata, isto é, sem as sugestões das coisas que o Homem via na natureza. Isso se reflete também na definição que Bertrand Russel em seu livro Principles of Mathemathics, dá a matemática atual, e citamos: “A matemática pura é a classe de todas as proposições da forma “p implica q”, onde p e q são proposições contendo uma ou mais variáveis, as mesmas nas duas proposições e nem p e nem q contem constantes exceto constantes lógicas.” (RUSSEL, 1938, p. 3). Essa definição, no entanto, é muito discutida entre os matemáticos, pois simplifica a matemática à lógica e isso não é aceito entre os matemáticos atuais. Um exemplo dos matemáticos contrários a essa ideia citado por Davis e Hersh (1985) são: Henri Poincaré, David Hilbet, e L. E. J. Brouwer. De qualquer forma a matemática é vista de várias maneiras diferentes, de acordo com a personalidade e a área de atuação do matemático, não havendo, um consenso geral.

Boyer (1974), ainda cita o matemático J. J. Sylvester que entende a matemática pura como uma forma de revelar “as leis da inteligência humana”, o que é a visão intuicionista da matemática, contrariamente a Russel que a considerava como sendo puramente lógica. E a este respeito ele diz que: “... diretamente das forças e atividades inerentes da mente humana, e da introspecção continuamente renovada daquele mundo interior do pensamento em que os fenômenos são tão variados e exigem a atenção tão grande quanto os do mundo físico exterior” (BOYER, 1974, p.440).

De qualquer forma, mesmo que a sofisticada matemática do século XXI, a matemática ainda lida com números e formas. Nosso interesse é o estudo da matemática de primeira (1ª.) até a sexta (6ª.) série, base para os estudos posteriores mais avançados de qualquer aluno que continue seus estudos em outros níveis.

O número, peça fundamental para se aprender/saber matemática.

Número (ou quantidade) é um dos conceitos mais elementares da matemática, e ainda é um mistério o processo como ele surgiu. Boyer (1974) sugere que esse conceito foi gradual e em função das relações do Homem com a natureza. Além disso, ele destaca que algumas línguas como o grego, por exemplo, conservam em sua estrutura gramatical uma tricotomia entre um (1), dois (2) e mais de dois (2), ao passo que a maioria das línguas atuais só fazem distinção de número pelo singular e o plural.

Então, como precisávamos contar, associávamos parte de nosso corpo com os elementos a serem contados. As nossas mãos, por exemplo, podiam agrupar grupos de dez (10) em dez (10). Isso sugere a razão de nosso sistema de numeração ser decimal. Boyer (1974) chama a isto de acidente anatômico, pois, uma base melhor, diz ele, é a duodecimal (12ª.), isso em razão dos divisores do número doze (12) serem muito mais numerosos que o 10, de nossa base atual.

Por outro lado, ainda segundo Boyer (1974), as afirmações sobre a origem da matemática, da aritmética e da geometria são necessariamente arriscadas, pois, os primórdios do assunto são mais antigos que a arte de escrever. Para informações sobre a pré-história necessitamos de artefatos da época, achados arqueológicos e de modernos estudos de antropologia. Como por exemplo, podemos citar seus potes, desenhos, tecidos ou cestas mostram exemplos de congruência e simetria que em essência são parte da geometria elementar.

Para encerrar por ora a discussão teórica sobre as origens da matemática (leia-se aritmética e geometria), e podermos pisar em um terreno mais firme em que existam bases documentais, evidências históricas confiáveis, recorremos novamente a Boyer (1974):

Podemos fazer conjecturas sobre o que levou os homens da Idade da Pedra a contar, medir e desenhar. Que os começos da matemática são mais antigos que as mais antigas civilizações é claro. Ir além e identificar categoricamente uma origem determinada no espaço e no tempo, no entanto, é confundir conjectura com história. É melhor suspender o julgamento nessa questão e ir adiante, ao terreno mais firme da história da matemática encontrada em documentos escritos que chegaram até nós. (BOYER, 1974, p. 5).

Antes mesmo de saber falar a criança já consegue lidar com quantidade. Ela consegue lidar com um numero pequenos de elementos, como por exemplo, o que falta em sua mão quando se esconde alguns dos seus dedos. Esta capacidade se revela quando se acrescentam a ela elementos, aumentando-a significativamente. Ela está presente em alguns animais: de acordo com Boyer (1974) experiências com corvos mostram que pelo menos alguns pássaros podem distinguir grupos de até quatro (4) elementos.

Apesar dos computadores serem notáveis motivadores do ensino, no Brasil não parece prudente usá-los massivamente para o desenvolvimento das aulas no Ensino Fundamental e Médio, posto que muitos professores não o saibam usar de forma adequada.

O uso dos computadores é uma necessidade, pois nem sempre é possível criar atividades contextualizadas sem eles. Um exemplo é o ensino da divisão e da potenciação.

Ao lado disto, é comum por não existir suporte adequado para seu uso nas escolas, tais como: softwares adequados ao ensino; manutenção contínua e de qualidade nos computadores, etc. Deste modo, deixaremos para o final da monografia, um tópico em separado para discutir sobre o uso dos computadores e de algumas ferramentas computacionais de ótima qualidade nas aulas de matemática e que são produzidas pelo governo federal, como por exemplo, o Linux educacional, que pode ser adquirido gratuitamente.

Devemos pensar que fazer matemática é como jogar futebol, uma atividade onde você deve conhecer as regras, os fundamentos de passe, defesa, chute, domínio de bola, ataque, não bastando para jogar futebol simplesmente correr. Devemos dar aos alunos condições para que eles dominem e conheçam os números, antes de querer colocá-los no jogo da matemática com seus problemas, abstrações e demonstrações.

O objetivo dessa monografia é valorizar o aprender/ensinar matemática através de brincadeiras para os alunos do Ensino Fundamental e Médio; Cursos de Magistério, Pedagogia e Licenciatura, usando para isto muitas atividades interativas moderadas pelo professor. O jogo ou o lúdico será o foco das atividades aqui apresentadas, particularmente, aquelas que envolvem a produção de recursos materiais de baixo custo pelo professor e seus alunos. As crianças, durante sua vida aprendem brincando: por que não aprender matemática brincando? E com isso vamos valorizar as brincadeiras no ensino da matemática. Não se pretende que o ensino de matemática seja feito de qualquer jeito e nem com qualquer método. Ao contrário, pretende-se trabalhar do concreto em direção ao abstrato e de forma gradual e eficiente. Por exemplo: como um aluno vai saber somar se ele nem entende o sistema de numeração decimal? Como um aluno vai somar duas frações diferentes se ele não entende de frações equivalentes? Sem falar que o conceito de fração é muito abstrato para um aluno que tem a ideia de número natural, imagine para aquele aluno que ainda não tem essas idéias bem definidas.

Algumas razões pessoais para tratar o tema

Como aluno de graduação de matemática finalizando o curso e também com alguma experiência de sala de aula, decidi fazer a monografia sobre as questões relativas ao ensino de matemática na educação básica em razão da aflição de ver e saber que, mesmo no século 21, crianças (inclusive a que eu fui) devem decorar desesperadamente as regras da tabuada, num procedimento arcaico e de um sistema de ensino cada vez mais caduco. Claro que isso não ocorre em todos os lugares, pois, existem escolas muito boas. Muitas vezes estas também são muito caras! Sabemos que os professores das séries mais avançadas têm dificuldade de ensinar seus alunos, exatamente pela falta de base que esses alunos têm nas séries iniciais de ensino. Mas os professores desses mesmos alunos, em sua maioria, também não possuem suporte para o ensino da matemática. Com essa monografia, queremos contribuir para mudar esse quadro ao dar um suporte para os professores, pais e alunos, ainda que este possa ser modesto. Penso que essa proposta de Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) é uma soma de experiências que tive na minha vida na sala de aula como aluno, como professor; como criança, como pai e educador. É incrivelmente positivo pensar que esse projeto é a reunião dessas ideias, todas adquiridas ao longo dos anos.

O que ensinar em matemática e como

Penso que a ideia seja desenvolver nas séries iniciais e até a 6º série, atividades que tornem o aluno um eficiente calculista, pois habilitar as pessoas a fazer cálculos e contas talvez seja a principal função da matemática escolar. Penso ainda que, Matemática é, em grande parte, calcular. Se o aluno não sabe calcular não pode progredir em matemática e aprender outros conteúdos e as habilidades. Devemos então criar meios para que os alunos participem ao máximo da experiência de calcular. Também, podemos dizer que a partir da 7° série, a matemática começa a ficar mais abstrata e, de acordo com o que se sabe sobre o desenvolvimento cognitivo, bem como a teoria psicogenética de Piaget, é nesta etapa que os alunos tem maturidade suficiente para compreender alguns teoremas e algumas demonstrações mais sofisticadas. Entretanto, devido à falta de treino nas fases anteriores isso pode ser prejudicado. Por isso a importância de um ensino da disciplina de matemática que proporcione a passagem do concreto para o abstrato nas séries anteriores.

Isso pode chocar alguns, mas penso que as atividades se fazem na Universidade ou no Ensino Médio, e quem sabe nas provas de vestibular ou concursos que envolvam a matemática? O simples cálculo. O que se faz quando estudamos matrizes, derivadas, integrais, limites, álgebra, funções ou qualquer outra matéria relacionada à matemática? Calcular. Hans Magnus Enzensberger autor do livro O diabo dos números (1997) vende uma ideia controversa e da qual discordamos, quando defende que as crianças na aula de matemática, não devem calcular e muito menos resolver problemas. Ele chega a dizer que para ser um matemático nem sequer é preciso saber calcular. O que não deixa de ser uma contradição com o que se faz na disciplina! Entre outras coisas, se um aluno não sabe calcular não pode passar em matemática e por consequência em concursos como o vestibular, o Enem, etc.

Assim um primeiro passo, para melhorar o ensino de matemática no Brasil, é o de começar favorecer o ensino do conteúdo de cálculo nas diversas etapas do ensino. Teoria dos números, isto é, aritmética, deve ser a primeira coisa a ensinar aos alunos, até a 7ª série. Boyer (1974), em seu livro, nos fala de um grande matemático, que possuía, em certo nível, uma deficiência em cálculo aritmético simples, esse matemático era Henri Poincaré, um dos criadores da geometria diferencial. Porém em todo seu livro, Boyer (1974), aponta somente essa exceção, e para ele isto não é a regra, de que os matemáticos não necessitem calcular com traquejo e habilidade.

Kamii (1999), ainda no livro A criança e o número faz várias afirmações sobre educação matemática, baseadas nas provas e estudos de Piaget. Em uma das falas da pesquisadora, ela menciona que os alunos de uma determinada série foram submetidos a um experimento de ensino de matemática com jogos, em contraste com um grupo de crianças que estavam estudando de maneira convencional, ou seja, decorando a tabela de adição e subtração. Para surpresa de todos, os alunos que estavam jogando se saíram muito melhor do que os alunos que estavam decorando as tabelas ou tabuadas na aula de matemática. Outro aspecto interessante neste estudo, é a omissão de as crianças estavam estudando matemática. Tudo corria como uma prática lúdica em que elas estavam se divertindo, brincando ao mesmo tempo em que estavam aprendendo a fazer contas complicadas de adição e subtração.

Outra coisa que deve ser levada em conta diz a autora (KAMII, 1999), apoiando-se em Piaget, é que a criança deve ser ensinada ou educada com afeto, pois isso também ajuda em seu desenvolvimento cognitivo, além dos fatores ambientais em que ela está inserida. Esse afeto, por outro lado, não significa somente a relação de professor com seu aluno, mas também a relação entre os colegas, por isso, para Piaget, era extremamente saudável. Isto inclui o confronto de opiniões e argumentações sem a intromissão do professor. Pela teoria de Piaget aos 12 anos, a criança já está no estágio das operações formais, e pode aprender certos conceitos matemáticos abstratos. Nessa fase a criança adquire maturidade para entender conceitos abstratos. Demonstrações devem ser feitas em sala de aula, para valorizar essa maturidade natural da criança. Conceitos básicos de geometria, álgebra e aritmética devem ser apresentados com relativo rigor.

Por outro lado, devemos lembrar que o lúdico ou as brincadeiras em nossas aulas de matemática, devem ter um momento bem claro de diminuição, não de término porque o ser humano está sempre brincando e jogando, mas de valorização de um rigor maior, pois ele deve acompanhar o desenvolvimento natural do ser humano, nesse caso da criança. Especialmente nas séries iniciais até a 6ª série, devem ser valorizadas atividades lúdicas em sua maioria, sem apelar para provas de teoremas e de conceitos matemáticos, mas de atividades que valorizem o conceito de número e suas operações elementares, principalmente de caráter lúdico e sem pressões, ou como já foi dito por Kamii (1999), sem mostrar a criança seu conceito formal, e sim deixando que ela estabeleça através do seu raciocínio esses conceitos, logicamente, amparada por seu professor. Nesse caso, o professor deve valorizar toda a bibliografia existente na matemática para criar atividades interessantes e motivadoras aos seus alunos, sem respostas prontas, deixando-os livres para inventar e solucionar problemas, qualquer que sejam eles. O professor deve intervir apenas quando os problemas não puderem ser resolvidos, ou os alunos não puderem achar uma solução.

Um exemplo contado por Kamii (1999) é o de duas crianças brigando para decidir quem ficaria com determinado brinquedo. Como a disputa não se resolvia, a professora propôs que lhe entregassem o brinquedo e depois de decidirem o que fazer, ela devolveria às duas crianças. Para espanto de todas as crianças não queriam mais o brinquedo e entregaram à uma terceira criança, e as duas foram brincar de outra coisa juntas. Note-se que a professora não usou de sua autoridade como adulta para estabelecer uma solução, apenas orientou às crianças uma forma de resolver suas diferenças e foram elas que decidiram o que fazer e não a professora. Isto é, a professora estabeleceu um momento de liberdade adequado ao grau de desenvolvimento do pensamento das crianças. Fazendo um paralelo com as aulas de matemática, notamos que liberdade para pensar não ocorre. Muitas vezes, o professor, dentro de sua autoridade em sala exige que o método e o resultado de um determinado problema sejam do jeito que ele ensinou e não aceita novas formas de resolver esse ou aquele exercício.

Independentemente do nível de ensino em que uma pessoa está estudando, se ela estiver estudando matemática, ela vai operar com quantidades e números. Independentemente do conteúdo estudado seja álgebra linear, cálculo diferencial e integral, álgebra abstrata, geometria euclidiana, ou simplesmente teoria dos números, ela estará sempre trabalhando com números.

Abstraindo a idéia de número

Definir matematicamente número é muito difícil. O matemático Elon Lages Lima, dedicado ao ensino da matemática no Ensino Médio, em uma palestra no IMPA (2006) diz que a melhor definição, não a mais precisa, é a de Leonard Euler, matemático suíço que viveu no século XVIII. Ele define número como sendo o resultado da comparação de uma grandeza e uma unidade. Se a grandeza for discreta, o resultado é um número natural, se a grandeza é contínua o resultado é um número real.

Piaget também, não estabeleceu uma definição para o conceito de número, mas diz que esse tipo de conceito não pode ser ensinado. A criança é que estabelece esse conceito, perante as variadas situações de seu dia a dia. Para a criança não existem assuntos estanques e bem delimitados. Todas as coisas que faz durante o dia são para ela, assuntos diferentes dentro de uma mesma coisa. Ela não classifica em disciplinas como fazemos normalmente no mundo adulto. O que Piaget defende é de que os professores e pais estabeleçam atividades que criem a oportunidade da criança e com seu pensamento desenvolver a ideia abstrata de números. Veja que não estamos falando de contar uma coleção de objetos, mas sim de entender o significado de dizer que um conjunto tem 8 ou 9 elementos.

O próprio símbolo dos números nos dá ideia da quantificação, já que os símbolos que representam os números são na realidade criados de tal maneira que o número de ângulos que possuem corresponde ao valor representado em cada símbolo, como mostra a figura 1.

clip_image002

Fig. 1 - Símbolos dos números de 1 a zero com o numero de ângulos de cada um deles

Vamos ilustrar isso com uma imagem de Constance Kamii (1999), onde temos um quadro com 8 elementos feitos através de uma contagem e outra imagem com elementos que de fato, mostram e definem a ideia de 8 elementos.

clip_image004

Fig. 2 - Quadro com 8 elementos obtidos por contagem onde a imagem mostra a quantidade 8

Outro exemplo: meu filho de 4 anos ao quantificar o quanto me ama em comparação às outras pessoas, abre os braços indicando a relação de amor que sente entre os membros da família. Quanto mais abre os braços, maior é o amor e consequentemente maior é o número que associa esse sentimento, exatamente o que expressa a figura 2, do livro de Kamii (1999). A quantidade de amor que ele sente entre eu e sua mãe é a mesma, pois ele abre seus bracinhos ao máximo determinando assim uma mesma medida, isto é, a mesma quantidade. Em seu caso, ele está desenvolvendo seu conceito de número de forma abstrata. E em breve poderá aprender a resolver problemas mais sofisticados com os números, pois ele consegue compreender a idéia de número.

A autora na última parte de seu livro também apresenta uma série de atividades que podem ser aplicadas para que a criança entenda o conceito de número. Aí, entender o conceito de número está relacionado com o quadro acima, e segundo Piaget não pode ser ensinado por nenhum professor, por outro lado, a criança pode ser estimulada a pensar sobre esse tipo de conceito. Em relação a isso, Kamii (1999) diz nessa parte do livro, que os professores também criem seus próprios jogos ou suas atividades lúdicas para que a criança possa desenvolver suas habilidades numéricas adequadamente. As relações entre os objetos é que podem auxiliar a construção do conceito de número.

Uma dessas atividades que me proponho a explicar, e que é perfeitamente coerente com a ideia de número que temos é o jogo do Nim. Ele pode ser feito usando-se bolinhas de gude e tampa de caixa de sapatos, por exemplo. O objetivo do jogo é não retirar a última bolinha, pois nesse caso o adversário é o vencedor. Mas o que interessa aqui é o caráter lúdico do jogo, isto é, a contagem das bolinhas para se retirar do tabuleiro, tentando atingir o conceito apresentado pela figura 2, isto é, o conceito de número pela inclusão hierárquica. Na seqüência do texto vamos voltar à discussão sobre o que é numero, já fazendo propostas de como este conceito pode ser aprendido/ensinado (veja no capitulo O jogo no ensino da matemática).

Aprender matemática não é fácil

O professor deve perceber, em seus alunos, o desenvolvimento de número associado a esses exemplos supracitados. É importante a construção da abstração do número, por parte da criança para que ela aprenda mais tarde a fazer as devidas operacionalizações com os elementos numéricos com mais facilidade, sabendo que ela está fazendo cálculos abstratos com quantidades que ela já conhece e que ela já experimentou em outra ocasião. Todas essas ideias terão sido infrutíferas se o professor em sua tarefa de ensinar não propor exercícios diversificados, interessantes e motivadores para seus alunos de matemática. Atividades exploratórias numéricas são muito interessantes para que os alunos criem condições de entender as diversas ferramentas que a matemática se utiliza principalmente para problemas reais.

Por exemplo: quantos números de dois dígitos tem o algarismo das dezenas maior que o das unidades? Quer dizer, 21, o número 2 ocupa a posição das dezenas e é maior que o número 1 que está na unidade. Ao todo são 45 números, já fiz a conta, mas a atividade é exploratória, isto é, exige várias habilidades de um matemático que podem ser treinadas com um exercício desse tipo, e está acessível a todos os alunos de primeira até o último ano do ensino médio, e creio que infelizmente muitos não saibam resolvê-lo.

Não é fácil aprender matemática, posso dizer isso da minha experiência como aluno de graduação, mas também todos aqueles professores que ensinam com regras a serem decoradas pelos alunos, fazendo-os calcular de maneira eficiente por uma ou duas semanas não pode ser considerada ensinar matemática, pois em breve infelizmente esse conhecimento irá se diluir, como a aula desse professor. Elon Lages Lima, (2004), em seu livro Matemática e Ensino diz que o conhecimento que vem fácil, vai fácil, definido assim que para conquistar o conhecimento matemático, o aluno deve se dedicar e fazer muita matemática. Além disso, ele conta a história de um rei que queria aprender matemática de maneira rápida e imediata. O matemático que estava conversando com ele, disse que não existiam caminhos reais na matemática. Em alusão às estradas que eram usadas somente pelo monarca absoluto da nação. De tudo isso, podemos notar que matemática se aprende fazendo matemática, e não de maneira contemplativa observando o professor resolvendo exercícios no quadro negro. Então cabe ao professor esforçar-se para ser um mediador e motivador, como já dissemos antes, tratar a matemática como um jogo para pessoas de todas as idades.

De qualquer forma, matemática é difícil em qualquer lugar do mundo, não é mais fácil aprender matemática nos EUA, ou Canadá do que no Brasil, o ensino de matemática realmente é difícil. Como diz Elon Lages Lima (2005), em sua palestra, que pode ser obtida no site: http://video.impa.br/index.php?page=25o-coloquio-brasileiro-de-matematica.

Outra manifestação da crença de que Matemática é difícil se encontra na idéia, que teve um considerável número de seguidores no século dezenove, de que havia no cérebro humano uma protuberância, chamada a “bossa da Matemática”, cujo maior ou menor volume era responsável pelo êxito ou fracassso na aprendizagem dessa matéria. Assim como a hipótese de Lombroso, que caracterizava a propensão ao crime por meio do formato cerebral, também a idéia da bossa da Matemática teve vida efêmera. Mas o mero fato de que um dia foi considerada já diz algo sobre o difícil que é e o medo que causa em muitos o estudo da Matemática. Para encerrar esta lista de exemplos, acrescento um trecho do grande matemático francês Henri Poincaré, publicado há quase 100 anos.

Um fato nos deveria causar admiração, se não estivéssemos tão acostumados com ele: como acontece que existam pessoas que não compreendem Matemática? Se a Matemática não invoca nada a não ser regras da Lógica, aquelas que são aceitas por todos os indivíduos normais, e a evidência das mesmas se baseia em princípios que são comuns a todos os seres humanos, os quais ninguém pode negar sem parecer tolo, como acontece que existam tantas pessoas que são totalmente resistentes à Matemática?

Que nem todo mundo seja capaz de inventar não é mistério algum. Que nem todo mundo possa guardar na memória uma demonstração que certa vez aprendeu também se compreende. Mas que nem todos possam entender um argumento matemático quando nós o apresentamos, isto é o que mais surpreende. Além do mais, aqueles que não são capazes de seguir esse raciocínio a não ser com grande dificuldade formam a vasta maioria: isto é inegável e a experiência dos professores secundários certamente não me contradiz.

Penso que ao escrever isto, estava começando a tratar do processo mental que conduz à descoberta matemática. Ele lança a provocante pergunta e logo deixa o caso no ar, sem voltar a ele depois. Não apenas provocante, a pergunta é crucial e respondê-la, mesmo que parcialmente, será uma forma de oferecer uma contribuição para melhorar a qualidade do ensino, de modo a alcançar um número maior de pessoas que conseguem entender o raciocínio matemático.

Continuando, o professor Elon na mesma palestra, ainda nos explica que:

É importante, porém, que o professor se conscientize de que a Matemática que é ensinada durante os sete ou oito primeiros anos da escola não requer nenhum pendor ou talento especial para ser aprendida, não mais do que nenhuma das outras disciplinas que são estudadas nessa idade. Certamente, mesmo aí, a Matemática exige mais atenção (um pequeno erro pode afetar grandemente o resultado, o que não ocorre nos outros estudos). Também a Matemática tem essa característica cumulativa: os assuntos dependem muito dos anteriores (não pode multiplicar quem não sabe somar), mas isto pode ser considerado como vantajoso para quem se empenha em exercitar-se. (É bem conhecida a história do estudante que só aprendeu Álgebra quando estudou Trigonometria, que só aprendeu Trigonometria quando estudou derivadas e integrais, que só aprendeu estas últimas quando estudou equações diferenciais, etc.)

Deve-se, entretanto observar, com toda a ênfase, que as dificuldades adicionais da Matemática em relação às outras disciplinas dos oitos primeiros anos de escola não requerem talento especial para serem vencidas. Dependem, sim, de certos hábitos e atitudes como empenho, trabalho, dedicação, cuidado, atenção, etc. Tais hábitos e atitudes são essenciais para o bom desempenho de quaisquer atividades na sociedade, de modo que, ao exigi-las dos estudantes, a Matemática está contribuindo para formar melhores cidadãos, mesmo que eles não venham a fazer, posteriormente, usos da maior parte das coisas matemáticas que estudaram na escola.

Além de tudo isso que já foi dito, principalmente por pessoas que estão ensinando matemática em todos os níveis há muitos anos e que tem experiência e sucesso suficiente para nos orientar em nossas futuras atividades na sala de aula – coisa que talvez para os alunos não fique muito claro – é que os algoritmos ensinados na escola são ótimos. Isto é, eles servem para resolver problemas com o mínimo de esforço. Lógico que, para utiliza-los de modo adequado é necessário se satisfazer certas condições específicas. Por exemplo, para somar várias parcelas, é necessário considerar o valor posicional de cada algarismo, mas para o aluno essa estrutura do sistema de numeral decimal não é tão claro assim.

Essas ideias podem ser vistas no livro, Na Vida Dez, na Escola Zero, (CARRAHEL et al, 1993), onde vários pesquisadores fizeram, por 10 anos, estudos sobre matemática na escola. E constataram que, um aluno pode errar o valor da subtração de 21-6, usando-se algoritmos tradicionais da escola, mas na vida real, ao dar troco para uma pessoa, ele certamente não errará. Pois o algoritmo de dar troco na vida real, é diferente de dar troco usando-seB o algoritmo da escola. Ainda, neste mesmo livro, os autores consideraram uma série de questões aos alunos. Eles constataram que os erros eram devidos justamente ao uso incorreto do algoritmo ensinado na escola. Por outro lado, as mesmas questões colocadas para serem respondidas de forma oral, eram mais acertadas pelos alunos do que sua resolução da maneira escrita, o que sugere que o algoritmo não está sendo claro para eles ou, existe algum problema diferente acontecendo, como por exemplo, a capacidade de escrever e ler coerentemente.

Isso se torna mais claro, porque em outra pesquisa feita pelos autores foi uma série de problemas sugeridos para serem resolvidos por mestres de obras sem terem muito estudo, e outros até analfabetos, e alunos de sexta série. Os mestres de obras acertaram muito mais questões do que esses alunos, munidos dos algoritmos ensinados no ambiente escolar, junto a educação tradicional. Isso quer dizer, que os mestres de obras não estavam presos ao algoritmo tradicional, do contrário do que os estudantes estavam.

Sabemos que para avançar nos estudos, os alunos devem saber formalizar seus pensamentos e ações de maneira escrita. Isso também acontece na ciência. Por isso, é importante o ensino de matemática, a leitura e a escrita na escola, principalmente nas séries iniciais, do que outros conhecimentos. Preparando o aluno para as séries e desafios futuros. Isso se torna lógico porque o estudo de outras ciências implica no uso da língua materna, ou seja, leitura e escrita. E a classificação, comparação e equivalências em situações diversas sugerem o uso de alguma matemática.

O estágio das operações concretas

Jean Piaget (1896-1980), dentro de sua teoria chamada de Epistemologia Genética, estabelece quatro períodos no processo evolutivo do ser humano. São divididos em: período sensório motor (de zero a dois anos); período pré-operatório (dos dois aos sete anos); período de operações concretas (dos sete aos doze anos) e período das operações formais (dos doze anos em diante). Evidentemente que essas faixas etárias são variáveis de pessoa para pessoa, pois cada uma pode ter diferentes tipos de relações com o meio e da forma como o indivíduo é estimulado por fatores externos. De qualquer forma, vale como referência a faixa etária que Piaget estabeleceu para sua teoria e que será levado em conta aqui.

Como professores de matemática do Ensino Fundamental, a previsão é que se atenda alunos que estão na faixa dos sete (7) aos doze anos (12) de idade, isto é, no período das operações concretas. Em termos escolares, podemos dizer que esse período começa na primeira série e vai até a sexta série do Ensino Fundamental. Mas isso não é regra geral, pois podemos ter alunos do Ensino Supletivo ou da Educação de Jovens e Adultos que não estão mais nessa fase do desenvolvimento piagetiano e, portanto podem ser mais facilmente treinados matematicamente, pois já estarem na última fase de seu desenvolvimento.

Porém o fato dos indivíduos estarem no período das operações formais não significa que esse indivíduo domine as operações matemáticas nas aulas. É um fato termos muitos alunos sem base matemática nas salas de aula de todo o país. Como se pode explicar que um indivíduo nas suas amplas condições do desenvolvimento cognitivo formal não entender as operações e conceitos que seu professor apresenta nas aulas de matemática?

Para responder a essa pergunta, somos levados a outro conceito, elaborado por Lev Vygotsky, (PARREIRA, 2008), o de zona de desenvolvimento proximal, no qual ele estabelece que um indivíduo não pode transpor um expediente de aprendizagem sem algum conhecimento anteriormente relacionado, a fim de conectar e suportar essa nova informação.

Um exemplo muito comum acontece com os alunos do curso de licenciatura em matemática, pois existem disciplinas que estão na grade do curso e de tão abstratas que são, mesmo estudando muito sobre elas não temos condições de sermos aprovados, a menos que tenhamos cursado pelo menos uma vez essa disciplina, a fim de conectar as duas vezes em tivemos que cursá-la. Dessa forma estamos fazendo o que diz a teoria de Vygotsky.

Em outras palavras, zona de desenvolvimento proximal é a distância entre o nível de desenvolvimento real, determinado pela capacidade de resolver um problema sem ajuda, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através de resolução de um problema sob a orientação de um adulto ou em colaboração com outro companheiro. Quer dizer, é a série de informações que a pessoa tem a potencialidade de aprender mas ainda não completou o processo, conhecimentos fora de seu alcance atual, mas potencialmente atingíveis.

O desenvolvimento real é aquele que já foi consolidado pelo indivíduo, de forma a torná-lo capaz de resolver situações utilizando seu conhecimento de forma autônoma. O nível de desenvolvimento real é dinâmico, aumenta dialeticamente com os movimentos do processo de aprendizagem. O desenvolvimento potencial é determinado pelas habilidades que o indivíduo já construiu, porém encontram-se em processo. Isto significa que a dialética da aprendizagem que gerou o desenvolvimento real, gerou também habilidades que se encontram em um nível menos elaborado que o já consolidado. Desta forma, o desenvolvimento potencial é aquele que o sujeito poderá construir. Dessa forma a zona de desenvolvimento proximal fornece os indícios do potencial, permitindo que os processos educativos atuem de forma sistemática e individualizada.

Portanto, nosso trabalho está solidificado dentro das teorias de Piaget e também dentro dos limites da zona proximal de Vygotsky, permitindo que o uso das técnicas aqui descritas e incentivadas em sala de aula, sejam levadas à prática, como ponto de partida para novos conhecimentos e tornando a aula, mesmo em comunidades carentes, mais dinâmica e atrativa por parte dos alunos. Ainda, de acordo com Vygotsky, você não pode aprender nada do qual não tenha visto ou experimentado alguma vez, por isso, é muito bom quebrar as barreiras, com atividades lúdicas e motivadoras, assim podemos estar criando conhecimento potencial para que mais tarde os alunos possam, em seus estudos posteriores, torná-lo real.

O professor deve ter essa noção das idéias de Vygotsky para desconsiderar de uma vez por todas a ideia de que o aluno seja incapaz de aprender matemática. Pode ser apenas que ele não esteja preparado para aquele conhecimento específico. O professor então, deve elaborar estratégias para contornar essas dificuldades que normalmente, em todas as classes do país, vai encontrar.

Nenhum comentário:

Postar um comentário